首都師範大學附屬中學 黃鳳聖
2006年我參加北京市海澱區教學大賽的課題是《雙曲線及其標準方程的研究》，這個課題在各種省市級、國家級公開課上已經司空見慣，在各種期刊上也討論好多次，在大家的眼裏這節課已經基本成型，沒有什麽可以突破的。所以參賽麵臨很大的風險。是否在習以為常中還有牛頓發現的“蘋果”呢？
我靜下心來，潛心研究，真的發現了這個“蘋果”。由此這節課在比賽中獲得了一等獎，也獲得了2007年北京教學設計大賽一等獎，2007年也被教育部選用作為新課標培訓的素材（見新思考網）。下麵分享這突破極限的設問過程。
一 “顯”而不一定“易見”——學生發現“蘋果”的基點
低認知水平問題中的知識水平問題：主要考察學生對知識的記憶情況，確定學生是否已經記住先前所學的知識內容，如定義、公式、概念、事實等。但低認知水平問題不一定是低水平的問題，當老師重視對問題本質的挖掘，它有可能也是一個高水平的問題，而《雙曲線及其標準方程的研究》這節課正是從引入一個低認知水平問題開始，進行層層深入，是整節課中學生發現“蘋果”的基點。
問題1：回顧一下，已經學習過的曲線可以看成由滿足什麽條件的動點形成的點的軌跡。並用框圖來表示上述定義。
學生回顧了直線、圓、橢圓的定義，並發現這三個曲線的定義都是使用解析幾何中“點到點的距離”（簡稱“點點距”）這個概念來形成，並寫出了以下的框圖：
問題2：從上麵的框圖來看，我們怎麽改變上述條件從而得到新的曲線呢？今天這節課我們應該選擇哪種條件所對應的曲線呢？
學生看出上述條件主要是關於“點點距”運算的條件，常見的四則運算除了加法，還有減法、乘法、除法等。