第一節 數學學科知識類型與學習方式
一、數學知識的分類
現代認知派心理學家將知識分為陳述性知識與程序性知識兩大類。所謂陳述性知識，是指關於“是什麽”的知識，它的基本形式是命題，許多命題相互聯係形成的命題集合成為命題網絡。所謂程序性知識，是指完成某項任務的一係列操作程序，我國學者莫雷認為該分類的出發點為不同形式的知識在人的大腦中的形成、表征、儲存、激活的性質和特點，以及知識形式的心理特征，而忽視了知識內容的心理特征。為此，他提出對知識分類的“陳述—程序”與“聯結—運算”兩維分類模式，並將知識分為以下類型（見表12-1）。
表12-1 知識二維分類模式[1]
根據數學知識內容的特征，有學者將數學知識的分為陳述性知識與程序性知識，而程序性知識又包括智慧技能與認知策略[2]。從教學內容角度，我們將數學知識的形態進行如下分類：
（一）數學概念
數學概念可分為日常概念與科學概念。日常概念也稱自發概念，即日常生活中通過辨別學習、積累經驗而成的概念，它一般產生於日常生活與無意識活動。科學概念則是指定義明確、有一定邏輯意義和體係的概念。日常概念與科學概念在教學中常常是相輔相成的，有些科學概念可以而且也必須借助於日常概念來學習，比如，集合中的直線、平麵等概念。數學概念按其反映事物屬性的類別可分為：反映數學基本元素的概念，如自然數、三角形等；反映數學對象間關係的概念，如全等、平行、包含等，它們是對兩個或兩個以上數學對象之間聯係或關係的表達；反映對象特性的概念，如周期性、單調性等，它們表征著數學元素所具有的某種性質。
（二）數學命題
數學命題是指表示概念具有某性質或概念之間具有某種關係的判斷。在數學課程中，數學命題分為公理與定理。公理是根據實踐的結果或邏輯體係的需要而不需證明就確認其正確性的原始命題。比如，歐氏幾何中的平行公理。定理是在原始命題基礎上經過邏輯推理得到確認的真實性命題。普通高中數學課程選擇其中的一些反映數學基本事實且具有一定認識功能、邏輯功能、使用功能的命題，構成教材中的公式或定理。如立體幾何中的直線與平麵平行的判定定理、性質定理，解三角形中的正弦定理、餘弦定理，數列中的等差數列通項公式、求和公式，三角函數中的誘導公式、兩角和與差的正餘弦公式等。