——比重與浮力的發現
上回說到阿基米德和埃拉托色尼談論天體結構的時候，突然聽到有人大喊“還要不要腦袋”，兩人大吃一驚，忙回頭仔細一看，原來是他們的好友亞曆山大裏亞博物院的天文學家亞利斯塔克，這才鬆了一口氣。阿基米德正要回敬他幾句，亞利斯塔克暗示他不要嚷嚷。他一抬頭才發現不遠處還有兩個人在散步，其中一人叫克利安西。阿基米德聳了一下肩膀，三人立即悄悄地返身離開海灘往回走去。
原來，在這個世界學術中心，堂堂的亞曆山大裏亞博物院裏，派係鬥爭也很激烈。剛才那個克利安西是斯多噶唯心哲學派的領袖。如果要讓克利安西知道他們三人討論地球在繞太陽轉之類的問題，是夠危險的。要知道，直到阿基米德死後一千多年，布魯諾和伽利略就是因為堅持這個學說，一個被燒死，一個被判了三百年徒刑。難怪亞利斯塔克問他們還要不要腦袋。
再說阿基米德在亞曆山大裏亞學習了一段時間後，頓生思鄉之情，便回到了自己的祖國——西西裏島的敘拉古。敘拉古國王艾希羅和阿基米德是親戚，見他在外留學多年，也不問學識深淺，一見麵就給他出了個難題。原來一年一度的盛大祭神節就要來臨了，國王艾希羅交給金匠一塊純金，命令他製作一頂非常精巧、華麗的王冠。王冠製成後，國王拿在手裏掂了掂，覺得有點輕。他叫來金匠問是否摻了假。金匠以腦袋擔保，並當麵拿秤來稱，與原來金塊的重量一兩不差。可是，摻上別的東西也是可以湊足重量的。國王既不能肯定有假，又不相信金匠的誓言，於是把阿基米德找來，要他解此難題。
一連幾天，阿基米德閉門謝客，反複琢磨，因為實心的金塊與鏤空的王冠外形不同，不砸碎王冠鑄成金塊，便無法求算其體積，也就無法驗證是否摻了假。他絞盡腦汁也百思不得其解。